IV. Любопытные свойства чисел

1. Движение пальца
Один из способов помочь памяти с помощью пальцев рук - запомнить таблицу умножения на 9. Положив обе руки рядом на стол, по порядку занумеруем пальцы обеих рук следующим образом:
Первый палец слева обозначим 1, второй за ним обозначим цифрой 2, затем 3, 4, ... до десятого пальца, который означает 10. Если надо умножить на 9 любое из первых девяти чисел, то для этого, не двигая рук со стола, надо приподнять вверх тот палец, номер которого означает число, на которое умножается девять; тогда число пальцев, лежащих налево от поднятого пальца, определяет число десяткой, а число пальцев, лежащих справа от поднятого пальца, обозначает число единиц произведения.
Пример. Пусть надо найти произведение

4X9

    Положив обе руки на стол, приподнимем четвертый палец, считая слева направо. Тогда до поднятого пальца находятся три пальца, а после поднятого — 6 пальцев. Результат произведения 4 на 9, значит, равен 36.
Найдите объяснение этого способа умножения чисел.

2. Одинаковые цифры
Если умножить число 777 на число 143, то получится шестизначное число, записываемое одними единицами:

777x143=111 111

Если же число 777 умножить на 429, то получится число 333, записываемое шестью тройками.
Найдите, на какие числа надо умножить число 777,  чтобы получить шестизначные числа, записываемые одними двойками, одними четверками, одними пятерками и т. д.

3. Свойство числа 481
Возьмем какое-нибудь двузначное число, например, 12. Удвоим его и припишем справа 0. К результату (240) прибавим исходное число. Получится 252. Умножим это на 481.
В записи произведения трижды повторяется число 12:

252x481=121 212

Возьмем другое двузначное число, например, 23. Проделаем с ним те же операции:

23x2=46; 460 + 23 = 483; 483x481=232 323.

Опять результат есть шестизначное число, в записи которого трижды повторяется исходное двузначное число 23.
Можете проделать еще несколько экспериментов, взяв, например, числа 34, 19, 70 и т. д. Опять в записи результата трижды повторено исходное двузначное число.
Попытайтесь объяснить этот удивительный факт.