Умножение и деление на Руси

Особенно сложны и трудны были в старину действия умножения и деления – особенно последнее.

«Умножение – мое мучение, а с делением – беда», - говорили в старину.

В  глубокой древности и почти до восемнадцатого века русские люди в своих вычислениях обходились без умножения и деления: они применяли лишь два арифметических действия - сложение и вычитание, да ещё так называемые «удвоения» и «раздвоение». Сущность русского  старинного способа умножения состоит в том, что умножение любых двух чисел сводится к ряду последовательных делений одного числа пополам (последовательное раздвоение) при одновременном удвоении    другого числа. Если в произведении, например 24∙5, множимое уменьшить в 2 раза («раздвоить»), а множитель увеличить в 2 раза («удвоить»), то произведение не изменится: 24∙5=12∙10=120

Пример:

32∙17

16∙34

8∙68

4∙136

2∙272

1∙544

Деление множимого продолжают до тех пор, пока в частном не получится 1, одновременно удваивая множитель. Последнее удвоенное число и дает искомый результат. Значит 32∙17=1∙544=544. В предлагаемом примере, все числа делятся на 2 без остатка.

А как быть, если деление на 2 происходит с остатком?

Пример:

21∙17

10∙34

5∙68

2∙136

1∙272

357

Если множимое не делится на 2, то от него сначала отнимается единица, а затем уже производится деление на 2. Строчки с четными множимыми вычеркиваются, а правые части строчек с нечетными множимыми складываются.

То есть 21∙17=(20+1)∙17=20∙17+1∙17.

Число 17 запомним (первая строка не вычеркивается), а произведение 20∙17 заменим равным ему произведением 10∙34. но произведение 10∙34, в свою очередь, можно заменить равным ему произведением 5∙68, поэтому вторая строка вычеркивается: 5∙68=(4+1) ∙68= 4∙68+68 Число 68 запомним (третья строка не вычеркивается), а произведение 4∙68 заменим ему равным произведением 2 ∙136. Но произведение 2∙136 можно заменить ему равным произведением 1∙272, поэтому четвертая строка вычеркивается. Значит, чтобы вычислить произведение 21∙17, нужно сложить 17.68.272 – правые части именно с нечетными множимыми.

Произведения же с четными множимыми всегда можно заменить с помощью раздвоения множимого и удвоения множителя равными им произведениями. Поэтому такие строчки исключаются из вычисления окончательного произведения.

Шло время. В ходу была одновременно чуть ли не дюжина различных способов умножения и деления – приемы один другого запутаннее, твердо запомнить которые не в силах был человек средних способностей.

В книге В.Беллюстина «Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики» (1941г.) изложено 27 способов умножения, причем автор отмечает; «весьма возможно, что есть и еще (способы), скрытые в тайниках, книгохранилищах, разбросанные в многочисленных, главным образом, рукописных сборниках».

И все эти приемы умножения – «шахматный», «загибанием», «задом наперед», «алмазом» и прочие, а также все способы деления, носившие не менее затейливые наименования, соперничали друг с другом в громоздкости и сложности.

Во времена М.Ломоносова действие умножения уже записывали почти так, как и в наше время. Только множимое называли «еличество», а произведение — «продукт» и, кроме того, не писали знак умножения.

Пример:

48 - Еличество. 8 — Множитель.  384 — Продукт, или произведение.

Известно, что М. В. Ломоносов знал наизусть всю «Арифметику» Магницкого. В соответствии с этим учебником маленький Миша Ломоносов умножение 48 на 8 объяснил бы так: «8-жды 8  есть 64, я 4 пишу под чертою, против 8, а 6 десятиц во уме имею. И дальше 8-жды 4 есть 32, и я З во уме держу, а к 2 приложу 6 десятиц, и будет 8. И сие 8 напишу подле 4, в ряд к левой руке, а 3 пока во уме суть, напишу в ряд подле 8, к левой же руке. И будет из умножения 48 с 8 произведение 384».

Сейчас мы почти так же объясняем, только говорим по-современному, а не по-старинному и, кроме того, называем разряды. Например, 3 надо писать на третьем месте потому, что это будут сотни, а не просто «в ряд подле 8, к левой же руке».

Что касается деления… В учебнике Л.Ф.Магницкого дается несколько способов деления. Некоторые из этих способов настолько трудные, что в них очень легко запутаться.

 Разберем сейчас один из этих способов. Магницкий считает его изящным и простым.

Пусть требуется разделить 598432 на 678. Сначала пишем первые цифры делимого 5984, под ним делитель 678. Делим 59 на 7 (678 близко к 700), получаем первую цифру частного 8 и пишем ее справа против делимого, умножаем 8 на 678: восемью восемь 64, отнимаем в уме 4 из 4 и пишем над 4 остаток 0; восемью семь 56, да 6 в уме—62, отнимаем 2 от 8, получаем в остатке 6 и пишем его над 8; 8X6=48, 48 +6=54, 59—54=5, значит, над 59 пишем остаток 5. Теперь к остатку 560 сносим следующую цифру делимого 3 и продолжаем действие в таком же порядке.

Закончив с трудом деление, наши предки считали обязательным проверить его один-два раза. Магницкий в данном случае ограничивается одной проверкой. Он рекомендует умножать с высших разрядов: 678 х 8=5424, еще раз. 678 х 8 = 5424 и 678 х 2= 1356; под этими числами подписывает остаток и складывает. Получает делимое. «Верно разделено» - писали в заключение в старину.

Вот как выглядела запись деления:

          436

       1792

     5603

   5984/

   882

 678

5424

5424

   1356

      436

        598432 верно разделено

Как видим, этот способ очень напоминает тот, которым пользуемся мы. Вероятно, наш современный способ развился из этого. Других способов разбирать не будем, приведем только форму записи делений «ромбом», который встречается у Магницкого.  

Разделить 9649378 на 5634:

                                                  3

                                                 14

                                               259

                                                10

                                             59417

                                          4015530

                                          9649378

                                           5634444

                                             56333

                                               566

                                                 5